Классическое определение вероятности
Самый удобный инструмент для первого знакомства с вероятностями - игральная кость: кубик, грани которого занумерованы числами 1, 2, ..., 6.
Поскольку кубик совершенно симметричен, мы считаем, что все шесть исходов бросания кости, т.е. выпадения цифр 1 или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 имеют совершенно одинаковую возможность.
Если отвлечься от реального содержания исходов испытания и интересоваться лишь тем, произошел или не произошел тот или иной исход, мы получим понятие элементарного события, которое в теории вероятностей является основным и не определяется.
В теории вероятностей под событием мы будем понимать все то, что может произойти, но может и не произойти в результате выполнения некоторой совокупности (комплекса) условий. Такие события называются случайными событиями.
Например, случайными событиями будут:
а) попадание в цель при выстреле;
б) выпадение орла при бросании монеты;
в) наудачу взятое изделие - стандартное;
г) наудачу взятое изделие - бракованное;
д) выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости и т.д.
Условимся события обозначать большими буквами латинского алфавита A, B, C, ... и т. д. В дальнейшем, если данный комплекс условий многократно повторяется, мы вместо слов "совокупность условий выполнена" будем говорить: "произведено испытание" или "произведен опыт". Другими словами, событие
мы будем рассматривать как результат испытания.
Так в примере а) выстрел - это испытание, а попадание в цель - это событие; в примере б) подбрасывание монеты - это испытание, а выпадение орла - это событие и т. д.
Условимся буквой P обозначать вероятность события, и сформулируем определение вероятности события.
Рассмотрим следующий пример. В урне содержится девять одинаковых, тщательно перемешанных между собой шаров, причем четыре из них - красных, три - синие и два - белые.
Поставлена задача: найти количественную оценку того, что взятый наудачу шар будет цветным. Каждый из возможных результатов испытания (извлечение шара из урны) будем называть элементарным исходом.
В нашем примере возможны девять элементарных исходов: C1, C2 - появился белый шар, C3, C4, C5 - появился синий шар, C6, C7, C8, C9 - появился красный шар.
Элементарные исходы, при которых событие наступает, называются благоприятствующими
исходами.
В нашем примере событию: "взятый шар цветной", благоприятствуют следующие исходы: C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9. Поэтому вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна P=7/9.
Вероятностью события A называется отношение числа событий, благоприятствующих событию A (m), к общему числу всех равновозможных событий (n), т. е.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
1. Наибольшую вероятность имеет достоверное событие, т.к. для него все элементарные исходы - благоприятствующие, т. е. P = 1.
2. Наименьшую вероятность имеет невозможное событие - P = 0.
3. Вероятность любого случайного события удовлетворяет неравенству:
0 < P < 1.
Рассмотрим примеры, для решения которых используется вероятность событий. Нас будет интересовать применение комбинаторики к вычислению вероятностей.
Вот несколько примеров вычисления вероятностей с помощью сочетаний, размещений и перестановок.
Пример 1. Пусть мешок содержит одинаковые по размерам и материалу шары, помеченные числами от 1 до 90. Из мешка вытаскивают какие-то 5 шаров. Какова вероятность, что среди этих шаров один помечен числом 90?
Вначале приведем математическое решение задачи, затем составим алгоритм и программу на языке Паскаль, т.е. будем придерживаться традиционной схемы решения задач на компьютере:
математическая модель - алгоритм - программа - отладка.
Событием в этой задаче является извлечение пятерки шаров (например, попали пять шаров с числами 24, 35, 42, 64, 83).
Каждая такая пятерка является подмножеством из множества 90 элементов, поэтому число таких подмножеств равно числу сочетаний из 90 элементов по 5:
Какое число событий будет благоприятствовать появлению шара с номером 90?
Допустим, что шар с номером 90 извлечен из мешка, тогда в мешке останется 89 шаров, из которых извлекаются еще 4 шара в добавление к одному с номером 90.
Извлечь 4 шара из 89 можно
Искомая вероятность будет равна:
Алгоритм
1. Содержание:
а) имя программы;
б) описание переменных и их типов;
в) описание процедуры вычисления числа сочетаний.
2. Выполнение операторов:
а) вызов процедуры сочетаний и вычисление числа сочетаний из 90 по 5;
б) вызов процедуры сочетаний и вычисление числа сочетаний из 89 по 4;
в) вычисление вероятности; г) вывод результата.
3. Конец.
По алгоритму составим программу, используя процедуру вычисления числа сочетаний.
Программа
Program Problem1;
uses WinCrt;
var
n1, m : longint;
p : real;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure combination(n, k : integer; var s : longint);
var
i : longint;
begin
s := 1;
if k = 0 then s := 1
else for i := 1 to n - k do s := s*(k + i) div i
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
begin
combination(90, 5, n1);
combination(89, 4, m);
p:=m/n1;
writeln('Вероятность появления шара с номером 90 равна ', p:6:4)
end.
Пример 2. Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили 5 щук, пометили их и пустили обратно в пруд. Во второй раз выловили 9 щук. Какова вероятность, что среди них окажутся ровно две помеченные щуки?
Математическое решение
Выясним общее число возможных событий, т.е. сколькими способами можно выловить 9 щук из 40 плавающих. Оно равно числу сочетаний из 40 по 9:
Сколько событий будут благоприятствовать тому, что среди этих 9 щук будут 2 помеченные.
Во-первых, две помеченные щуки можно выбрать из 5 ранее помеченных следующим количеством способов:
Во-вторых, к этим двум щукам надо добавить еще не помеченных 7 щук, которые можно выбрать из 35 не помеченных (ведь пять щук помеченные) количеством способов:
Значит, общее число благоприятствующих событий будет равно произведению числа способов из 5 по 2 на число способов из 35 по 7:
Тогда, искомая вероятность равна:
Вообще, если Y является m-подмножеством в n-множестве X и из X выбираются k-подмножество A, то вероятность того, что среди выбранных элементов содержится ровно r элементов из Y, равна:
Алгоритм
составления программы достаточно прост и поэтому сразу составим программу. Она будет такой:
Программа
Program Problem2;
uses WinCrt;
var
s1, s2, s3, p : real;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
Procedure combination(n, k : integer; var s : real);
var
i : longint;
begin
s := 1;
if k = 0 then s := 1 else for
i := 1 to n - k do s := s*(k + i)/i
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
begin
combination(40, 9, s1);
combination(35, 7, s2);
combination(5, 2, s3);
p := (s2*s3)/s1;
writeln('Вероятность появления двух помеченных щук равна ', p:6:4)
end.
