Наиболее вероятное число событий биномиального распределения
Из распределения вероятностей по биномиальному закону видно, что вероятность вначале возрастает, а затем убывает. Естественно возникает вопрос о числе событий, имеющей наибольшую вероятность.
При возрастании m от 0 до n-1 это отношение убывает от np/q до p/nq. Если np > q и nq > p, то рассматриваемое отношение переходит от значений больших 1, к значениям, меньшим 1. А это означает, что вероятность P(X = m) сначала возрастает, а затем убывает. И лишь в крайних случаях, когда np < q или nq < p, вероятности P(X = m) изменяются монотонно.
Во всех случаях наиболее вероятное значение X = m0 находится из неравенств
откуда следует, что
Этому неравенству удовлетворяет только одно целое число m0 , если только np + p не является целым числом: в последнем случае имеются два наиболее вероятных значения X = np + p - 1 и X = np + p. В частном случае, когда произведение np - целое число, оно и является наиболее вероятным значением величины X.
Пример 5. Вероятность появления бракованной детали равна 0.02. Определить наиболее вероятное число годных деталей в партии из 1000 штук, а также математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
{ Биномиальный закон распределения вероятностей }
{ Наиболее вероятное число исходов }
Program Problem5;
uses WinCrt;
var
p, m1, m2, mx, dx : real;
n, m0 : integer;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Основная программа }
begin
write('Введите общее число деталей в партии '); readln(n);
write('Введите вероятность появления бракованной детали ');
readln(p);
m1 := n*p + p - 1; m2 := n*p + p;
if (m1 = m2) and (m1 = trunc(m1)) then m0 := trunc(m1)
else m0 := trunc(m2);
mx := n*p; dx := n*p*(1 - p);
write('Наиболее вероятное число бракованных деталей ');
writeln(' в этой партии равно ', m0);
writeln('Математическое ожидание равно ', mx:1:6);
writeln('Дисперсия случайной величины равна ', dx:1:6)
end.
Из этого примера видно, что наиболее вероятное число появление событий при малой вероятности и большом числе исходов - m0, равно математическому ожиданию дискретной случайной величины mx (m0 = mx).
